Комплексные поставки запорной арматуры
и деталей трубопроводов →

Тел: +7 (3522) 55-48-26

Балка с двумя жесткими заделками


Расчет реакций опор в жесткой заделке консольной балки

Задача

Рассчитать величину и направление опорных реакций в жесткой заделке консольной балки нагруженной заданной системой внешних нагрузок.

Пример решения

Покажем значения нагрузок и продольные размеры балки, обозначим ее характерные сечения буквами A, B и C.

В случае плоского поперечного изгиба в жесткой заделке консольной балки могут иметь место только две опорные реакции:

На данном этапе решения задачи эти реакции можно направить в любую сторону.

Короткое видео о реакциях в заделках:

Определим величину, а заодно и истинное направление опорных реакций.

Зададим систему координат y-z.

Для нахождения двух реакций нам понадобятся два уравнения равновесия.

Балка не перемещается вверх-вниз, поэтому сумма проекций всех сил на ось y должна равняться нулю.

Проецируя все силы на ось y получаем первое уравнение:

∑F(y)=0=-R-q∙1+F

Правило знаков для проекций сил.

Откуда находим величину реакции R

R=-q∙1+F=-100∙1+40=-60кН

Знак «-» в ответе говорит о том, что реальное направление реакции R противоположно выбранному вначале.

Поэтому изменим направление силы и соответственно ее знак на противоположные.

Второе уравнение статики получим из условия, что балка не вращается, так как сумма моментов приложенных к ней тоже равнв нулю.

Запишем уравнение суммы моментов, например, относительно точки A:

∑mA=0=M-m+q∙1∙(0,5+0,5)-F(0,5+1)

Правило знаков для моментов.

Отсюда находим опорный момент M

M=m-q+F∙1,5=70-100+40∙1,5=30кНм

Положительный результат показывает, что выбранное наугад направление момента М оказалось верным, то есть перенаправлять его не нужно.

Полученные значения опорных реакций можно легко проверить.

Для этого запишем уравнение суммы моментов относительно точки B или C:

∑mB=M+R∙0,5-m+q∙1∙0,5-F∙1

и подставив в него полученные значения, мы должны получить сумму равную нулю

∑mB=30+60∙0,5-70+100∙1∙0,5-40∙1=0

Так и есть! Значит опорные реакции определены верно.

Расчет реакций в опорах простой двухопорной балки >
Другие примеры решения задач >

Расчёт балки бесплатно онлайн

Добро пожаловать! Данный онлайн-калькулятор предназначен для расчёта балки и позволит построить эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов, поперечных и осевых или продольных сил), рассчитать реакции в опорах. В итоге формируется отчёт с готовым решением. Удачи!

12
  • Операции

  • Объекты

      В данном расчёте не задано ни одного объекта. Для создания объектов модели перейдите в раздел "Операции"

Виды опор балок (сопромат)

Существуют виды опор балок (рис. 7.2):

шарнирно неподвижная опора;

шарнирно подвижная опора;

жесткая заделка.

Шарнирно неподвижная опора

Шарнирно неподвижная опора (рис. 7.2, а, опора А) - это закрепление конца балки, при котором балка может поворачиваться, но не может перемещаться ни в горизонтальном (влево или вправо), ни в вертикальном (вверх или вниз) направлениях, то есть не может перемещаться ни в каком направлении. В шарнирно неподвижной опоре может возникнуть реакция, которую удобно представить в виде двух составляющих: вертикальной () и горизонтальной ().

Шарнирно неподвижная опора на расчетной схеме условно изображается посредством двух стерженьков. Нижние их концы шарнирно прикреплены к «земле», а верхние концы соединены между собой и с балкой шарниром.

Шарнирно подвижная опора

Шарнирно подвижная опора (рис. 7.2, б, опора B) - это устройство, в котором конец балки может свободно перемещаться в горизонтальном направлении, может поворачиваться при изгибе, но не может перемещаться в вертикальном направлении. Со стороны шарнирно подвижной опоры может возникнуть только вертикальная реакция (). Шарнирно подвижная опора изображается посредством одного стерженька, шарнирно соединенного и с землей, и с балкой.

Жесткая заделка

Жесткая заделка - это закрепление (рис. 7.2, в), при котором конец балки не может ни поворачиваться, ни перемещаться. В заделке могут возникнуть реактивный момент (момент жесткой заделки) и реакции и . Балка при жестком закреплении показывается заделанной в часть стены, которая штрихуется.

Расчет балки. Общие положения - Доктор Лом

1 этап. Определение максимальных напряжений

Внешние силы, действующие на балку, называются нагрузками. Внутренние силы - напряжениями. Тем не менее с точки зрения физики никакой разницы между этими силами нет, поэтому согласно третьему закону Ньютона (сила действия равна силе противодействия и направлена в противоположную сторону) внешние силы можно рассматривать как внутренние и наоборот. На этом основан метод сечений, используемый при расчете балок.

Согласно этому методу, если отсечь часть балки, то для того, чтобы отсеченная часть находилась в состоянии статического равновесия, к полученному сечению балки, как правило поперечному (перпендикулярному нейтральной оси балки), нужно приложить внешние силы. При этом в рассматриваемом сечении будут возникать силы противодействия - напряжения, равные по значению внешним силам и направленные в противоположную сторону.

1.1. Определение видов и количества опор

Опоры у балки могут быть разные: шарнирные и(или) жесткие.

Рисунок 219.2.

Например, у балки, показанной на рисунке 219.2 имеется две вертикальных шарнирных опоры, показанные фиолетовым цветом и одна горизонтальная шарнирная опора, показанная синим цветом.

Как правило опоры обозначаются латинскими литерами А, В, С, D и т.д.

1.2. Определение количества и длины пролетов

Балки могут иметь не только один пролет, но два, три и сколь угодно много. Количество пролетов nп определить не сложно:

nп = nо - 1 (517.1)

где no - количество вертикальных шарнирных опор или жестких заделок.

Балка, показанная на рисунке 219.2, имеет один пролет. Длина пролета l равна расстоянию между вертикальными опорами. Так как действительные опоры балки имеют некоторую ширину, то пролет балки - это расстояние в свету между краями опор. Пролет измеряется в метрах (м).

Если у балки только одна опора - жесткое защемление на конце, то такая балка пролетов не имеет и называется консольной.

1.3. Система координат

При расчете балок используется стандартная система координат с осями х, у и z. Для упрощения расчетов балка рассматривается как стержень, нейтральная ось которого совпадает с осью координат х. При этом начало координат как правило совпадает с началом балки. Соответственно длина балки измеряется по оси х.

Геометрические размеры поперечных сечений балки, т.е. размеры относительно осей y и z, на первом этапе расчетов никакого значения не имеют. Более того именно эти параметры и нужно определить на втором этапе расчета балки на действующие нагрузки.

Таким образом на первом этапе балка рассматривается как некий стержень, размеры сечения которого пренебрежимо малы по сравнению с длиной.

1.4. Определение действующих нагрузок

Все нагрузки, действующие на балку, можно представить в виде:

1.4.1. Сосредоточенных сил

Могут обозначаться как Q, P, N и др. Измеряются в Ньютонах (Н) или килограмм-силах (кгс).

1.4.2. Нагрузок, распределенных по некоторой части длины или по всей длине балки

Как правило такие нагрузки обозначаются литерой q. Измеряются в Н/м или кгс/м.

В свою очередь распределенные нагрузки могут быть равномерно и неравномерно распределенными.

График, показывающий изменение значения распределенной нагрузки по длине балки, называется эпюрой нагрузки. Изменение значения распределенной нагрузки может описываться различными уравнениями. Например, для балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра нагрузки имеет вид прямоугольника, а уравнение, описывающее изменение значений нагрузки, имеет следующий вид:

q = const (517.2)

Если одна или несколько нагрузок направлены не перпендикулярно оси х, а под некоторым углом а, то для дальнейших расчетов такие нагрузки разбиваются на вертикальную и горизонтальную составляющие.

Вертикальные составляющие используются для расчета балки на поперечный изгиб. Горизонтальные составляющие используются для определения горизонтальных опорных реакций, а также при необходимости для расчетов на устойчивость сжатого стержня.

Определить значение вертикальных и горизонтальных составляющих нагрузки можно по следующим формулам:

Qв = Qsina (517.3)

Qг = Qcosa (517.4)

где а - угол между осью х и вектором приложения нагрузки. Для распределенных нагрузок используется тот же принцип определения вертикальной и горизонтальной составляющих.

1.4.3. Моментов

Внешний момент, действующий в любой точке по оси х, рассматривается как пара сил, равных по значению и направленных в противоположные стороны. Таким образом значение внешнего момента не зависит от расстояния до какой либо точки по оси х, а только от расстояния между векторами двух противоположно направленных сил.

Примечание: иногда при расчете балок бывает известен угол поворота или перемещение поперечного сечения. По большому счету ни угол поворота, ни перемещение не являются нагрузками, а есть результат воздействия нагрузок. Поэтому в таких случаях перемещения или углы поворота поперечных сечений заменяются силами или моментами, которые вызывают эквивалентное рассматриваемому перемещение или угол поворота.

1.5. Степень статической неопределимости

Все балки с количеством пролетов более одного, являются статически неопределимыми. Но даже и однопролетные балки могут быть статически неопределимыми. Степень статической неопределимости s для балок с шарнирными опорами определяется следующим образом:

sш = nп - 1 (517.5) 

Например, для балки, показанной на рисунке 219.2, степень статической неопределимости равна sш = 1 - 1 = 0. Это означает, что такая балка является статически определимой и для ее расчета на первом этапе достаточно трех уравнений статического равновесия системы.

Каждая жесткая заделка добавляет одну степень статической неопределимости. При наличии жестких заделок статическая определимость s определяется следующим образом:

sж = nп + nж - 1 (517.6)

где nж - количество жестких заделок.

Рисунок 145.3.1

Например, для балки, показанной на рисунке 145.3.1, степень статической неопределимости составит sж = 1 + 2 - 1 = 2. Это означает, что для расчета балки на первом этапе потребуется составить два дополнительных уравнения.

1.6. Замена опор опорными реакциями

На этом этапе расчета опоры, имеющиеся у балки, заменяются реактивными силами, получившими название "опорные реакции". Эти опорные реакции также являются внешними силами для балки. Главное отличие опорных реакций от нагрузок в том, что изначально опорные реакции в отличие от нагрузок не известны и их нужно вычислить.

1.7. Статическое равновесие системы

Таким образом, после замены опор на реактивные силы, балка рассматривается как некий стержень, на который действуют внешние силы - нагрузки и опорные реакции. А так как стержень остается в состоянии статического равновесия, то сумма нагрузок равна сумме опорных реакций.

Из этого следуют первые два уравнения статического равновесия системы:

∑Fу = 0 (249.5.1) - для внешних сил, действующих параллельно оси у.

∑Fх = 0 (249.5.2) - для внешних сил, действующих параллельно оси х.

В данном случае F - это общее обозначение для внешних сил: и нагрузок и опорных реакций.

Третье уравнение статического равновесия применимо только для статически определимых балок с шарнирными опорами. Смысл его сводится к тому, что шарнирные опоры не препятствуют повороту стержня на опоре, а значит момент на такой опоре будет равен нулю, если балка бесконсольная. Если на консоль действует нагрузка, то момент на опоре определяется, как для обычной консольной балки.

Для бесконсольной балки третье уравнение статического равновесия будет иметь вид:

∑МА = ΣМВ = 0 (517.7).

Примечание: В данном случае моменты - это произведение рассматриваемых сил на плечо действия.

Если нагрузка распределена по длине балки, то сначала определяется суммарная нагрузка (площадь грузовой эпюры), при этом плечо действия равно расстоянию от центра тяжести эпюры нагрузки. Другими словами, сначала распределенная нагрузка приводится к сосредоточенной силе и эта условно сосредоточенная сила действует в центре тяжести эпюры нагрузки.

1.8. Определение опорных реакций

Используя уравнения статического равновесия системы, можно сразу определить опорные реакции для статически определимой балки. Сначала с помощью уравнения (517.7) определяется одна вертикальная опорная реакция, а потом с помощью уравнения (249.5.1) - вторая вертикальная опорная реакция. При наличии горизонтальных составляющих нагрузки при помощи уравнения (249.5.2) определяется горизонтальная опорная реакция.

При расчете статически неопределимых балок сначала определяются значения опорных реакций на промежуточных шарнирных опорах, если используется метод нулевых перемещений на опорах (метод сил) или моменты на промежуточных шарнирных или крайних жестких опорах, если используется метод определения углов поворота на опорах (уравнения трех моментов).

При использовании уравнений трех моментов значение реакции на крайней опоре А определяется, исходя из условия:

А = (МВ + Мн)/l (517.8)

где МВ - значение момента на опоре В, определенное с помощью уравнений трех моментов. Мн - значение момента на опоре В от действующей нагрузки. Для остальных опор уравнения составляются по такому же принципу и только для крайней опоры используется одно из уравнений статического равновесия.

1.9. Построение эпюр

После того, как определены значения опорных реакций, можно переходить непосредственно к определению напряжений в поперечных сечениях балки. Для этого строятся эпюры поперечных и продольных сил, эпюра моментов, углов поворота поперечных сечений и эпюра перемещений (прогибов).

Физический смысл эпюр в том, что они показывают изменение указанных параметров в поперечных сечениях по длине балки. Таким образом эпюры являются графиками, описывающими решение соответствующих уравнений. Примеры эпюр поперечных сил и изгибающих моментов при действии различных видов нагрузки для статически определимых балок можно посмотреть здесь, а для некоторых видов статически неопределимых балок - тут.

Затем по эпюре моментов определяется самое нагруженное поперечное сечение балки, в этой точке на эпюре моментов максимальное значение, отрицательное или положительное, в данном случае не имеет значения. Затем для этого сечения определяются значения поперечных и нормальных сил по соответствующим эпюрам.

2 этап. Подбор сечения

Так как разные материалы имеют разные значения расчетных сопротивлений, то соответственно и требуемые параметры сечения для балок из различных материалов будут разными.

2.1. Определение материала балки и расчетного сопротивления материала

После того, как выбран материал для балки, определяются расчетные сопротивления материала изгибу Rи, сжатию Rc, растяжению Rр и т.п. по действующим нормативным документам или по данным производителя, если балка будет из стали.

Для балок из разнородных материалов сначала определяются параметры приведенного сечения. Суть приведенного сечения состоит в том, что рассматривается некое условное сечение материала обладающего равным сопротивлением, при этом ширина сечения для материала, обладающего большим расчетным сопротивлением увеличивается во столько раз, во сколько расчетное сопротивление одного материала больше расчетного сопротивления другого материала. Поэтому такое сечение и называется приведенным. Другими словами, если бы балка изготавливалась из одного материала, то именно так и должно было бы выглядеть поперечное сечение.

Для железобетонных балок, являющихся также балками из разнородных материалов, как правило в процессе расчета требуется дополнительно определить сечение арматуры. Возможные варианты расчета железобетонных балок рассмотрены отдельно.

2.2. Определение требуемого момента сопротивления

Требуемый момент сопротивления определяется, исходя из следующего условия:

Wтр ≥ М/Rиγs (149.4.8)

где М - максимальное значение изгибающего момента, определенного по эпюре моментов, построенной относительно оси хγs - коэффициент условий работы.

Момент сопротивления измеряется в см3.

2.3. Определение геометрических параметров сечения

2.3 Определение геометрических параметров сечения

Поперечное сечение балки может быть каким угодно: круглым, квадратным, прямоугольным, в виде швеллера, двутавра, круглой или прямоугольной трубы и т.д.

Как известно наиболее оптимальными являются сечения в виде двутавра, швеллера или квадратной трубы, именно такие сечения и принимаются для стальных балок.

Для деревянных балок чаще используются прямоугольные и круглые сечения. И хотя круглое сечение саме неэффективное с точки зрения использования материала, однако бревна - самый дешевый строительный материал, так как требуют минимум предварительной обработки при изготовлении балок. Тем не менее, при достаточно больших пролетах и нагрузках деревянные клеенные балки двутаврового сечения также имеют место.

Для железобетонных балок наиболее характерны прямоугольное и тавровое сечения. Впрочем, как уже говорилось, расчет железобетонных балок отличается от расчета обычных балок.

Для балок прямоугольного сечения требуемая высота сечения определяется по формуле:

 (147.4)

Для стальных балок все значительно проще - момент сопротивления принимаемого профиля, определяемой по соответствующему сортаменту, должен быть не меньше требуемого момента сопротивления, определенного по формуле (149.4.8)

2.4. Определение прогиба

Так как для однопролетных балках на шарнирных опорах значение прогиба часто является определяющим, то я рекомендую определять прогиб сразу после определения параметров сечения.

Формулы для определения прогиба и углов поворота сечения на опорах зависят от вида приложенной к балке нагрузки. Значение модуля упругости E для выбранного материала балки определяется по нормативным документам, здесь можно посмотреть примерные значения модулей упругости для некоторых строительных материалов. Значение момента инерции I определяется в зависимости от геометрической формы сечения или по сортаменту для стальных балок из прокатного профиля.

Если прогиб f, определенный по одной из вышеуказанных формул, меньше допустимого нормативными документами, в частности СП 20.13330.2011 "Нагрузки и воздействия", то можно продолжать расчеты. Если прогиб больше допустимого, то сначала следует подобрать сечение, обеспечивающее требования по прогибу. Например для балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, значение момента инерции можно определить по следующей формуле:

I = 5ql4/(384Ef) (517.9)

2.5. Проверка на прочность опорных участков балки

Любая балка в отличие от показанной на рисунке 219.2 модели имеет опорные участки. На этих опорных участках действуют нормальные напряжения в сечениях, параллельных нейтральной оси балки. В общем случае (если балка прямоугольная и напряжения на опорном участке равномерно изменяются от максимума до нуля) эти напряжения определяются по следующей формуле:

σу = 2Q/(blоп) ≤ Rcγs (517.10)

где Q - значение поперечной силы согласно эпюры "Q", b - ширина балки, lоп - длина опорного участка, 2 - коэффициент учитывающий неравномерность распределения напряжений на опорном участке. Rc - расчетное сопротивление сжатию.

2.5.1. Проверка на прочность в местах действия сосредоточенной нагрузки

Так как на балку может действовать не только распределенная нагрузка, но и одна или несколько сосредоточенных нагрузок, то места действия сосредоточенных нагрузок также следует проверить на прочность.

В данном случае формула для определения нормальных напряжений будет будет почти такой же как (517.10), вот только значение коэффициента, учитывающего неравномерность распределения нагрузки, будет зависеть от того, как именно сосредоточенная нагрузка передается рассчитываемой балке.

Например, если рассчитываемая балка будет находиться посредине помещения и на нее сверху будет опираться второстепенная балка, то значение коэффициента будет равно 1.

2.6. Проверка по касательным напряжениям

В поперечных сечениях, соответствующих опорным точкам балки, а также в сечениях, параллельных нейтральной оси балки, будут действовать касательные напряжения, которые не должны превышать расчетного сопротивления Rs сдвигу или сколу:

т = QySzотс/bIz ≤ Rsγs (270.2)

Подобная проверка особенно важна для стальных тонкостенных балок.

2.7. Определение максимальных напряжений

Если в рассматриваемой точке (точнее на грани параллелепипеда с рассматриваемой точкой на одной из граней) действуют и нормальные и касательные напряжения, то возникает плоское напряженное состояние.

В этом случае необходимо определить максимальное нормальное напряжение, действующее в этой точке, другими словами определить главные площадки напряжений. Для этого используется одна из теорий прочности. Так, согласно третьей теории прочности:

σпр =(σ2 +4т2)0.5 ≤ R (517.11)

Если на 4 из 6 главных площадок напряжений в области рассматриваемой точки действуют нормальные и касательные напряжения (например в местах приложения сосредоточенных нагрузок или на промежуточных опорах многопролетных балок), то значение максимальных нормальных напряжений составит:

σпр = ((σх - σу)2 + 4тху2)0.5 R (517.12)

Эта формула следует из общих положений теории сопротивления материалов, однако для стальных балок нормативные документы требуют проводить расчет по несколько другой формуле.

Кроме того в некоторых случаях, если отсутствуют опорные связи из плоскости балки (что в малоэтажном строительстве встречается крайне редко) тонкостенные стальные балки открытого профиля, а также деревянные балки любого сечения следует проверить на устойчивость в сжатой зоне сечения, но это уже совсем другая история.

Вот собственно и все, что имеет отношение к расчету балок.

Расчет балки на прогиб

Однопролетные балки на двух шарнирных опорах
1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть расчет
3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
4 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
5 Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на двух опорах
6 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
7 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть расчет
8 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
9 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
10 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на одной опоре (консольные)
11 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
12 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
13 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
14 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки двухпролетные
15 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть
16 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть
17 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть
18 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть
19 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть

Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы

Приветствую тебя, читатель экспресс-курса — «сопромат для чайников» на сайте – SoproMats.ru. Меня зовут Константин Вавилов, я являюсь автором статей по сопромату и других материалов данного ресурса. В этой статье, будем рассматривать универсальную методику расчета прогибов балки — метод начальных параметров. Как и любая другая статья для чайников, на нашем проекте, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

  • в опорах прогибы равны нулю;
  • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.
Учитывая эти хитрости, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой балки:

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]

\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+… \]

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

  • Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

  • Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

  • Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

\[ M\cdot \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \]

  • Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

\[ F\cdot \frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } \]

  • Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

\[ q\cdot \frac { { x }^{ 4 } }{ 24 } \]

Откуда такие цифры и степени взялись? Все эти вещи вытекают при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки, в методе начальных параметров все эти выводы опускаются, то есть он является как бы упрощенным и универсальным методом.

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } \]

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ B }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+\frac { { R }_{ A }\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot 6^{ 4 } }{ 24 } +\frac { q\cdot 2^{ 4 } }{ 24 } =0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+874.67=0 \]

Выражаем угол поворота:

\[ { \theta }_{ A }=-\frac { 874.67 }{ 8E{ I }_{ z } } =-\frac { 109.33кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=\frac { -109.33\cdot 4E{ I }_{ z } }{ E{ I }_{ z } } +\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } =-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

\[ { V }_{ C }=-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } =-\frac { 280\cdot { 10 }^{ 9 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 7080{ см }^{ 4 } } =-2см \]

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

На этом, пожалуй, закончу данный урок. Если у вас возникли какие-либо вопросы по представленным материалам, задавайте вопросы в комментариях к этой статье. А также рекомендую вам посмотреть другие примеры определение прогибов этим методом. Там вы найдете более сложные задачи, определение углов поворотов, примеры расчета консольных балок (с жесткой заделкой).

Луч Два 0938

В соответствии с последними рекомендациями правительства Великобритании, операции на наш склад в Великобритании продолжает работать с усиленными мерами по защитить наших сотрудников.

Социальное дистанцирование - наш склад площадью 8000 м2 обеспечивает безопасный сбор заказов, а наше просторное здание означает что все сотрудники могут безопасно дистанцироваться от общества.

Мытье рук - у нас в изобилии дезинфицирующее средство для рук размещено по всему зданию.

Рекламная кампания - обширная постерная кампания расположен по всему зданию, чтобы сотрудники мытье рук и социальное дистанцирование на виду.

Строительная гигиена - все поверхности, включая поручни часто протираются, все двери распахнуты, поэтому что их не нужно трогать или открывать для других.

Складское оборудование для сканирования - все физические лица имеют собственное именное оборудование, которое регулярно чистится.

Разгрузка складских контейнеров - мы сейчас управление системой ротации, с одним человеком в контейнере в любой один раз.

.

Балочный мост | HowStuffWorks

Строительство моста не может быть проще этого. Чтобы построить балочный мост (также известный как балочный мост ), все, что вам нужно, - это жесткая горизонтальная конструкция (балка) и две опоры, по одной на каждом конце, для ее опоры. Эти компоненты непосредственно поддерживают опускающийся вниз вес моста и любой транспортный поток, движущийся по нему.

Однако, удерживая вес, мост из леща выдерживает как напряжение сжатия, так и растяжение.Чтобы понять эти силы, давайте воспользуемся простой моделью.

Если вы возьмете квадрат два на четыре и положите его поперек двух пустых ящиков из-под молока, у вас получится грубый балочный мост. Теперь, если вы поместите тяжелый груз в его середину, два на четыре будут сгибаться. Верхняя сторона прогибалась бы под действием силы сжатия, а нижняя сторона изгибалась бы под действием силы натяжения. Добавьте достаточно веса, и два на четыре в конечном итоге сломаются. Верхняя сторона будет изгибаться, а нижняя - ломаться.

Во многих мостах с балками для выдерживания нагрузки используются бетонные или стальные балки. Размер балки, и в частности высота балки, определяет расстояние, на которое балка может простираться. При увеличении высоты балки в балке появляется больше материала для снятия напряжения. Чтобы создать очень высокие балки, проектировщики мостов добавляют к балке моста опорную решетку или ферму . Эта опорная ферма добавляет жесткости существующей балке, значительно увеличивая ее способность рассеивать сжатие и растяжение.Как только балка начинает сжиматься, сила распространяется по ферме.

Но даже с фермой балочный мост годен только для ограниченного расстояния. Чтобы достичь большей длины, вам нужно построить большую ферму, пока вы в конечном итоге не достигнете точки, в которой ферма не сможет выдержать собственный вес моста. Приготовьтесь к серьезным статистическим данным по ферменным мостам на следующей странице.

.

Решено: жесткая балка на концах поддерживается двумя A-3 ...

  1. инженерное дело
  2. гражданское строительство
  3. вопросы и ответы по гражданскому строительству
  4. Жесткая балка поддерживается на концах двумя стальными элементами A-36 Тяги. У стержней есть диаметры ...

Проблема решена!

Посмотреть ответ

Показать расшифрованный текст изображения

Ответ эксперта

93% (14 оценок) Предыдущий вопрос Следующий вопрос

Расшифрованный текст из этого вопроса

Жесткая балка поддерживается на концах двумя стальными стяжными шпильками A-36.Стержни имеют диаметры d_ab = 0,5 дюйма и d_cd = 0,3 дюйма. Если допустимое напряжение для стали составляет sigma_allow = 16,2 тыс. Фунтов на кв. Дюйм, определите наибольшую интенсивность распределенной нагрузки w и ее длину x на балке, чтобы балка оставалась в горизонтальное положение при загрузке.

.

Типы соединений - соединение балки с колонной

Соединения относятся к категории простых соединений, полужестких соединения и жесткие связи.

Жесткие соединения - это соединения, которые не деформируются значительно под действием приложенных моментов. Это означает, что ограничение вращения составляет 90% или более. Другими словами, обеспечивается полная непрерывность при подключении.

Простая демонстрация жесткого соединения


Полужесткое соединения спроектированы так, чтобы иметь некоторую степень ограничения вращения и поэтому привлечем несколько моментов.Это означает, что передаваемый момент поперек стыка не равен ни нулю, ни моменту полной непрерывности, так как жесткий соединения.

Простые соединения предназначены для передачи только сдвига от балки к колонне без развития значительных моментов.

Типы соединений


Еврокод 3, часть 1.8 (EN 1993-1-8) описывает конструкцию соединений. Итак, согласно EN 1993-1-8, соединения классифицируются по жесткости и прочности.

Классификация по жесткости
Соединение может быть классифицировано как шарнирное, полужесткое или жесткое в соответствии с его жесткостью при вращении.
Классификация по прочности
Соединение может быть классифицировано как номинально штифтовое, частичное или полное, сравнивая его моментное сопротивление M j, Rd с моментными сопротивлениями сочлененных элементов.

Строительный свойства соединения (EN 1993-1-8)

Как показано на рисунке 3.3, балка к колонне соединение может быть представлено поворотной пружиной в точке, где осевые линии соединенных элементов пересекаются.

.

Смотрите также

Сделать заказ

Пожалуйста, введите Ваше имя
Пожалуйста, введите Ваш номер телефона
Пожалуйста, введите Ваше сообщение